12. Quadratische Gleichungen

Impressum   © Jakob Fechtig

Inhalt

Quadratische Gleichungen
Gemischt quadratische Gleichungen
Gleichung auf pq-Anwendung vorbereiten
Warum die pq-Formel funktioniert
Unvollständige Gleichung
Quadratische Gleichungen in Textaufgaben
Satz vom Nullprodukt
Aufgaben

  Quadratische Gleichungen

Was ist das?
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen das $x$ im Quadrat steht.
Also: $x^2$

Lösungsweg
Wir lösen quadratische Gleichungen, indem wir das $x^2$ isolieren und am Ende die Wurzel ziehen. Beispiel:

$3x^2+4=79~~~|-4$

$3x^2~~~~~~=75~~~|:3$

$x^2~~~~~~~~=25~~~|\sqrt ~$

$x~~~~~~~~~~=5~~~$

  Gemischt quadratische Gleichungen

Was ist das?
Gemischt quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen sowohl $x^2$ als auch $x$ vorkommen.

Lösungsweg
Gemischt quadratische Gleichungen lösen wir mit der sogenannten pq-Formel:

$x^2+\color{red}px+\color{green}q=0$      $x_{1;2} =-\frac{\color{red}p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}p}{2} \right)^2-\color{green}q}$

Eine gemischt quadratische Gleichung kann:
    Zwei Lösungen haben. $x_1$ und $x_2$
    Eine Lösung haben. $x_1 = x_2$
    Keine reelle Lösung haben.

Beispiel 1 (Zwei Lösungen):

$x^2 \color{red}{- 10}x \color{green}{+ 21} = 0$

$x_{1;2} = - \frac{\color{red}{-10}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\color{red}{-10}}{2} \right)^2 - \color{green}{21}}$

$x_{1;2} = - (-5) \pm \sqrt{\left( -5 \right)^2 - 21}$

$x_{1;2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21}$

$x_{1;2} = 5 \pm \sqrt{4}$

$x_{1;2} = 5 \pm 2$


$x_{1} = 5 + 2$

$x_{1} = 7$


$x_{2} = 5 - 2$

$x_{2} = 3$

Beispiel 2 (Eine Lösung):

$x^2 \color{red}{+6}x \color{green}{+9} = 0$

$x_{1;2} = - \frac{\color{red}6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\color{red}6}{2} \right)^2 \color{green}{- 9}}$

$x_{1;2} = - 3 \pm \sqrt{\left( 3 \right)^2 - 9}$

$x_{1;2} = -3 \pm \sqrt{9 - 9}$

$x_{1;2} = -3 \pm \sqrt{0}$

$x_{1;2} = -3 \pm 0$


$x_{1} = -3 + 0$

$x_{1} = -3$


$x_{2} = -3 - 0$

$x_{2} = -3$

Beispiel 3 (Keine reelle Lösung):

$x^2 \color{red}{- 8}x\color{green}{ + 17} = 0$

$x_{1;2} = - \frac{\color{red}{-8}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\color{red}{-8}}{2} \right)^2 \color{green}{- 17}}$

$x_{1;2} = - (-4) \pm \sqrt{\left( -4 \right)^2 - 17}$

$x_{1;2} = 4 \pm \sqrt{16 - 17}$

$x_{1;2} = 4 \pm \sqrt{-1}$

An dieser Stelle brechen wir ab, da wir gerade Wurzeln nicht aus negativen Zahlen ziehen können.

  Gleichung auf pq-Anwendung vorbereiten

Nicht immer liegen Gleichungen direkt pq-gerecht vor, sondern müssen erst durch Umformung auf die pq-Formel vorbereitet werden.
Beispiel:

$\frac {64}{x+3} = x + 3~~~|~~\cdot (x+3)$

$64 ~~~= (x + 3)^2$

$64 ~~~= x^2+6x + 9~~~|~~-64$

$0 ~~~~~= x^2+6x-55~~~|~~0=x^2+px+q~~~p=6~~~q=-55$

$x_{1;2} = - \frac{6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{6}{2} \right)^2 - (-55)}$

$x_{1;2} = - 3 \pm \sqrt{\left( 3 \right)^2 + 55}$

$x_{1;2} = - 3 \pm \sqrt{9 + 55}$

$x_{1;2} = - 3 \pm \sqrt{64}$

$x_{1;2} = - 3 \pm 8$


$x_{1} = - 3 + 8$

$x_{1} = 5$


$x_{2} = - 3 - 8$

$x_{2} = -11$


Ob das wohl stimmt?
Probe für $x=5$

$\frac {64}{5+3} =^? 5 + 3$

$\frac {64}{8} =^? 8$

$ 8 =8$

Die Lösung: $x=5$ stimmt!

Probe für $x=-11$

$\frac {64}{-11+3} =^? -11 + 3$

$\frac {64}{-8} =^? -8$

$-8 =-8$

Die Lösung: $x=-11$ stimmt ebenfalls!

  Warum die pq-Formel funktioniert

Vorbemerkung
Wir werden im folgenden die pq-Formel beweisen.

Dieser Abschnitt ist für alle gedacht, die etwas hinter die Kullissen schauen möchten. Für den Realschulabschluss ist die Fähigkeit die pq-Formel zu beweisen nicht erforderlich. Das bedeutet nicht, dass dieses Wissen unnötig ist!

Wenn Sie diesen Beweis führen können, schadet es nicht mehr, wenn Sie die pq-Formel vergessen haben und überdies keine Formelsammlung zur Hand haben. Sie sind dann in der Lage die pq-Formel neu zu aufzustellen.

Das Schöne ist: Für diesen Beweis genügt das, was wir bisher gelernt haben!

Der Beweis
Zu lösen ist die Gleichung:
$$x^2+px+q=0$$ Wir versuchen zunächst (wie üblich) $x$ zu isolieren.
$$x^2+px+q=0~~~| -q$$ $$x^2+px=-q$$ Mehr geht leider nicht. Deshalb greifen wir zu anderen Mitteln. Wir addieren etwas zur Gleichung, das die linke Gleichungsseite zu einer binomischen Formel macht.
$$x^2+px=-q~~~|+\left( \frac{p}{2} \right)^2$$ $$x^2+px +\left( \frac{p}{2} \right)^2 =\left( \frac{p}{2} \right)^2-q$$ $$\left(x + \frac {p}{2} \right)^2=\left( \frac{p}{2} \right)^2-q$$ Jetzt ziehen wir aus der Gleichung die Wurzel und beachten dabei auf der rechten Gleichungsseite, dass das Ergebnis sowohl positiv, als auch negativ sein kann.
$$\left(x + \frac {p}{2} \right)^2=\left( \frac{p}{2} \right)^2-q ~~~|~\sqrt{~~}$$ $$x + \frac {p}{2}=\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q }$$ Der ganze Aufwand hat bewirkt, dass kein $x^2$ mehr in der Formel vorkommt. Daher können wir mit den üblichen Methoden $x$ weiter isolieren.
$$x + \frac {p}{2}=\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q }~~~|~- \frac {p}{2}$$ $$x =- \frac {p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q }$$ Da die Wurzel zwei Vorzeichen hat und $x$ daher möglicherweise zwei Ergebnisse, ersetzen wir $x$ durch $x_{1;2}$ und erhalten so die pq-Formel, wie wir sie aus Lehrbüchern und Formelsammlungen kennen:
$$x_{1;2} =- \frac {p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q }$$

  Unvollständige Gleichung

Was ist, wenn Teile der pq-Gleichung fehlen?

Fehlendes q

Beispiel:
In der Gleichung: $x^2+4x=0$ fehlt der Wert für $q$.

Da $q$ zur linken Gleichungsseite addiert, beziehungsweise von ihr subtrahiert wird, dürfen wir für ein fehlendes $q$ die neutrale Zahl $0$ einsetzen und können die Gleichung dann mit der pq-Formel lösen:

$x^2+4x\color{red}{+0}=0$

$x_{1;2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2\color{red}{-0}}$

$x_{1;2} = - 2 \pm \sqrt{4\color{red}{-0}}$

$x_{1;2} = - 2 \pm \sqrt{4}$

$x_{1;2} = - 2 \pm 2$

$x_{1} = 0$

$x_{2} = -4$

Weniger Aufwand verursacht der folgende Rechenweg:

$x^2+4x=0~|~x$ ausklammern

$x(x+4)=0$

Nun haben wir ein Produkt mit dem Ergebnis $0$. Also muss einer von beiden Faktoren (oder auch beide) eine Null sein. Dadurch erhalten wir zwei Gleichungen:

$x=0$

$x+4=0~|~-4$

$x=-4$

Auf diese Weise erhalten wir ebenfalls die Lösungen $0$ und $-4$.

Fehlendes p

In der Gleichung: $x^2+x-3,75=0$ fehlt der Wert für $p$. Das $p$ ist mit dem $x$ durch eine Multiplikation verbunden. Wir können anstelle von $p$ eine $1$ einsetzen, die ja beim multiplizieren neutral ist.

$x^2+\color{red}1x-3,75=0$

$x_{1;2} = - \frac{\color{red}1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\color{red}1}{2} \right)^2 -(-3,75)}$

$x_{1;2} = - 0,5 \pm \sqrt{0,5^2+3,75}$

$x_{1;2} = - 0,5 \pm \sqrt{0,25+3,75}$

$x_{1;2} = - 0,5 \pm \sqrt{4}$

$x_{1;2} = - 0,5 \pm 2$

$x_{1} = 1,5$

$x_{2} = -2,5$

Fehlendes px

In der Gleichung $x^2-36=0$ fehlt der komplette Ausdruck für $px$. Dadurch liegt keine gemischt quadratische Gleichung vor, sondern nur eine einfache quadratische, für deren Lösung wir keine pq-Formel benötigen:

$x^2-36=0~|~+36$

$x^2=36~|~\sqrt{~}$

$x=\pm 6$

Wer auf die Verwendung der pq-Formel besteht, kann auch damit Erfolg haben. Dabei ist jedoch ein sehr sauberes formales Vorgehen notwendig:

Da $0 \cdot x$ stets $0$ ergibt, können wir $0x$ zur linken Gleichungsseite addieren, ohne etwas zu verändern und erhalten eine Gleichung, auf die wir die pq-Formel anwenden können:

$x^2+\color{red}{0x}-36=0$

$x_{1;2} = - \frac{\color{red}0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\color{red}0}{2} \right)^2 -(-36)}$

$x_{1;2} = 0 \pm \sqrt{0^2+36}$

$x_{1;2} = 0 \pm \sqrt{0+36}$

$x_{1;2} = 0 \pm \sqrt{36}$

$x_{1;2} = 0 \pm 6$

$x_{1} = 6$

$x_{2} = -6$

Etwas umständlich, aber möglich!

  Quadratische Gleichungen in Textaufgaben

Die folgenden zwei Beispiele zeigen, wie wir eine quadratische Gleichung aus einem Aufgabentext gewinnen können.

Beispiel 1

Ein Rechteck hat eine Fläche von 36 cm². Von der kurzen Seite wissen wir, dass sie 9 cm kürzer ist, als die lange Seite. Wie lang und wie breit ist das Rechteck?

Lösung:

Wenn wir es nicht auswendig wissen, erfahren wir die Formel für die Flächenberechnung eines Rechtecks aus der Formelsammlung.

$A=a \cdot b$

Wir nennen (willkürlich!) die lange Seite a und die kurze Seite b. Nun können wir einsetzen:

$a = x$   Unbekannte Seite.
$b = x -9$   Neun Zentimeter kürzer als die unbekannte Seite.
$A = 36$   Die Fläche ist aus dem Aufgabentext bekannt.
$36 = x \cdot (x-9)$   Achtung! Klammer nicht vergessen!

Auf pq-Formel vorbereiten:

$36 = x \cdot (x-9)~|~$ Rechte Seite: Distributivgesetz
$36 = x^2-9x~|~-36$
$0 = x^2-9x-36$

Anwendung der pq-Formel:

$x^2-9x-36=0$

$x_{1;2} = - \frac{-9}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-9}{2} \right)^2 -(-36)}$

$x_{1;2} = 4,5 \pm \sqrt{4,5^2+36}$

$x_{1;2} = 4,5 \pm \sqrt{20,25+36}$

$x_{1;2} = 4,5 \pm \sqrt{56,25}$

$x_{1;2} = 4,5 \pm 7,5$

$x_{1} = 12$

$x_{2} = -3$

Bewertung der Gleichungsergebnisse:

Die lange Seite ist demnach zwölf Zentimeter lang. Mit der -3 können wir nichts anfangen, da eine negative Seitenlänge in diesem Zusammenhang keinen Sinn ergibt.

Berechnung der kurzen Seite:

$12 - 9 = 3$

Das Rechteck hat also Seitenlängen von 12 cm und 3 cm.

Beispiel 2

Ein Quadrat wird quer um 3 cm vergrößert und längs um 2 cm. Das dadurch gebildete Rechteck hat eine Fläche von 56 cm².
Gefragt ist die Seitenlänge des Quadrates.

Da wir die Seitenlänge des Quadrates nicht kennen, nennen wir sie x.

Nun können wir einsetzen:

$a = x + 3$   Drei Zentimeter länger als das Quadrat.
$b = x + 2$   Zwei Zentimeter länger als das Quadrat.
$A = 56$   Die Fläche ist aus dem Aufgabentext bekannt.
$56 = (x+3)(x+2)$   Achtung! Klammern nicht vergessen!

Auf pq-Formel vorbereiten:

$56 = (x+3)(x+2)~|~$ Rechte Seite: Distributivgesetz.
$56 = x^2+3x+2x+6~|~$ Zusammenfassen.
$56 = x^2+5x+6~|~-56$
$0 = x^2+5x-50$

Anwendung der pq-Formel:

$x^2+5x-50=0$

$x_{1;2} = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2} \right)^2 -(-50)}$

$x_{1;2} = -2,5 \pm \sqrt{2,5^2+50}$

$x_{1;2} = -2,5 \pm \sqrt{6,25+50}$

$x_{1;2} = -2,5 \pm \sqrt{56,25}$

$x_{1;2} = -2,5 \pm 7,5$

$x_{1} = 5$

$x_{2} = -10$

Bewertung der Gleichungsergebnisse:

Auch hier erweist sich das negative Ergebnis als unbrauchbar und wir können davon ausgehen, dass das Quadrat eine Seitenlänge von 5 cm hat.

  Satz vom Nullprodukt

Die Null verhält sich beim Multiplizieren ausgesprochen rabiat:

Gleichgültig was wir mit Null multiplizieren, das Ergebnis ist immer Null.

Beispiele:
$$-3 \cdot 0 = 0$$ $$~0 \cdot 0 = 0$$ $$~7 \cdot 0 = 0$$ $$~5 \cdot 0 = 0$$ u.s.w.

Wir nennen dieses Phänomen:

den Satz vom Nullprodukt

Betrachten wir folgende Gleichung:

$$x \cdot y = 0$$ Welche Zahlenpaare lösen diese Gleichung?

Nach dem oben gesagten können wir recht einfach ein Zahlenpaar finden, das diese Gleichung löst.

Wir setzen für y eine Null ein und können jetzt für x jede beliebige Zahl (etwa eine 8) einsetzen:

Die Probe wird diese Lösung bestätigen: $$8 \cdot 0 = 0$$ Da für die Multiplikation das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) gilt, können wir genauso gut für x eine Null und für y eine beliebige Zahl (Bsp.: -25) einsetzen. Auch dann löst das Zahlenpaar die Gleichung, wie die Probe bestätigt: $$0 \cdot (-25) = 0$$

Betrachten wir folgende Gleichung: $$(x+3)(x-7) = 0$$ Um die Lösung zu bestimmen, multiplizieren wir die beiden Klammern miteinander und lösen die Gleichung mit der pq-Formel:

$(x+3)(x-7) = 0$

$x^2-7x+3x-21= 0$

$x^2-4x-21 = 0$

$x_{1;2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 + 21}$

$x_{1;2} = 2 \pm \sqrt{4+ 21}$

$x_{1;2} = 2 \pm \sqrt{25}$

$x_{1;2} = 2 \pm 5$

$x_{1} = 7$

$x_{1} = -3$

Das hätten wir mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt auch einfacher lösen können:

$(x+3)(x-7) = 0$

Klammer mal Klammer gleich Null. Nach dem Satz vom Nullprodukt, muss eine der beiden Klammern (egal welche) gleich Null sein. Somit erhalten wir zwei Gleichungen, die uns die gleichen Lösungen liefern, wie zuvor die pq-Formel:

$\begin{matrix} x-7&=&0&~|~+7\\ x&=&7\\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} x+3&=&0&~|~-3\\ x&=&-3\\ \end{matrix}$