Start / Mathematikunterricht Inhalt / Potenzen und Wurzeln - Rechenregeln
Inhalt
Worum es geht
Null als Exponent, negativer Exponent
Multiplikation und Division zweier Potenzen
Mehrfache Potenzen oder Wurzeln
Gebrochene Exponenten
Häufige Fehler
Aufgaben
Lösungen
Worum es geht
Dieser Abschnitt beschäftigt sich den fünfzehn wichtigsten Rechenregeln,
die für Potenzen und Wurzeln gelten.
Die grundlegenden Definitionen von Potenzen und Wurzeln finden Sie
hier.
Null als Exponent, negativer Exponent
Potenzen
Regel 1:
$$a^0=1$$
Regel 2:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}~~~~~~~~~~~~\frac{1}{a^{-n}}=a^n$$
Multiplikation und Division zweier Potenzen
Potenzen
Basis ist gleich, Exponent kann verschieden sein
Regel 3:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Regel 4:
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
Exponent ist gleich, Basis kann verschieden sein
Regel 5:
$$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$
Regel 6:
$$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b} \right)^n$$
Wurzeln
Basis ist gleich, Exponent kann verschieden sein
Regel 7:
$$\sqrt [m]{a} \cdot \sqrt [n]{a} = \sqrt [mn]{a^{n+m}}$$
Regel 8:
$$\frac{\sqrt [m]{a}}{\sqrt [n]{a}} = \sqrt [mn]{a^{n-m}}$$
Exponent ist gleich, Basis kann verschieden sein
Regel 9:
$$\sqrt [n]{a} \cdot \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{a \cdot b}$$
Regel 10:
$$\frac{\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}} = \sqrt [n]{\frac{a}{b}}$$
Mehrfache Potenzen oder Wurzeln
Potenzen
Regel 11:
$$(a^m)^n = a^{m~n} = (a^n)^m$$
Wurzeln
Regel 12:
$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n~m]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$$
Gebrochene Exponenten
Potenzen
Regel 13:
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$
Wurzeln
Regel 14:
$$\sqrt[\frac{1}{n}]{a} = a^n$$
Potenzen und Wurzeln gemischt
Regel 15:
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Häufige Fehler
Regel 9 gilt nicht für Summen oder Differenzen
Beispiel 1: Wir möchten folgende Wurzel ziehen:
$$\sqrt{16 + 9}$$
Korrekte Rechnung:
$$\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$$
Zu einem falschen Ergebnis führt dagegen:
$$\sqrt{16 + 9}=\sqrt{16} + \sqrt{9}=4 + 3= 7$$
Beispiel 2: Wir möchten folgende Wurzel ziehen:
$$\sqrt{25 - 16}$$
Korrekte Rechnung:
$$\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$$
Zu einem falschen Ergebnis führt dagegen:
$$\sqrt{25-16}=\sqrt{25} - \sqrt{16}=5-4= 1$$
In beiden Beispielen wurde Regel 9 auf Summen oder Differenzen angewendet.
Sie gilt jedoch nur für Produkte!
Hierbei handelt es sich um einen der häufigsten Fehler bei Rechnungen im Zusammenhang mit
dem Satz des Pythagoras.
Aufgaben
Aufgabe 1
$${-7}^{0}=$$
$$10 ^ 0=$$
$$12345678876 ~^ 0=$$
Aufgabe 2
Lösen Sie die folgenden Rechnungen ohne Taschenrechner:
$$16^{0,5}=$$
$$144^{0,5}=$$
$$16^{0,75}=$$
Lösungen
Aufgabe 1
$$-7 ^ 0 = 1$$
$$10 ^ 0 = 1$$
$$12345678876 ~^ 0 = 1$$
Aufgabe 2
$$16^{0,5}=16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$$
$$144^{0,5}=144^{\frac{1}{2}}=\sqrt{144}=12$$
$$16^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$$