19. Rechtwinklige Trigonometrie

Impressum   © Jakob Fechtig

Inhalt

Ankathete und Gegenkathete
Die Winkelfunktionen
Verwenden von sin, cos und tan
Berechnung fehlender Größen
Aufgaben

  Ankathete und Gegenkathete

Wie aus dem Kapitel über den Satz des Pythagoras bekannt, unterscheiden wir in einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten von der Hypotenuse.

Wir werden diese Unterscheidung jetzt verfeinern.

Um die beiden Katheten zu unterscheiden, nennen wir die Kathete, die an einem Winkel liegt seine Ankathete und die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, nennen wir seine Gegenkathete.
Da es nur eine Hypotenuse gibt, ist hier keine Unterscheidung nötig.

                  

Anmerkung:
In der obigen Abbildung ist $\gamma$ der rechte Winkel c die Hypotenuse. Das ist eine übliche Darstellung. Beachten Sie bitte, dass das nicht immer so sein muss und gelegentlich auch $\alpha$ (mit a als Hypotenuse) oder $\beta$ (mit b als Hypotenuse) rechtwinklig sein können.

  Die Winkelfunktionen

Abkürzungen:

Die Ankathete wird im folgenden mit $AK$ bezeichnet, die Gegenkathete mit $GK$ und die Hypotenuse mit $Hy$.

Wo ich es für nötig gehalten habe, verdeutlicht ein Index welcher Winkel gemeint ist:
$$AK_\alpha ,~AK_\beta ,~GK_\alpha ,~GK_\beta$$

Definitionen:

Sinus:
$sin(\alpha) = \frac{GK_\alpha}{Hy}$   $sin(\beta) = \frac{GK_\beta}{Hy}$

Kosinus:
$cos(\alpha) = \frac{AK_\alpha}{Hy}$   $cos(\beta) = \frac{AK_\beta}{Hy}$

Tangens:
$tan(\alpha) = \frac{GK_\alpha}{AK_\alpha}$   $tan(\beta) = \frac{GK_\beta}{AK_\beta}$

Anmerkung:
Die Klammer um den Winkel werden Sie nicht in allen Lehrbüchern wiederfinden. Ich empfehle diese Klammer, da sie hilft Fehler zu vermeiden.

  Verwenden von sin, cos und tan

Runden:
Der Sinuswert des Winkels 62° ist:
$$sin(62°) = 0,88294759285892694203217136031572...$$ Wie die meisten Sinus-, Kosinus- oder Tangenswerte, ist auch $sin(62°)$ eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, ohne jegliche Periodizität. Wir müssen diese Zahl also an irgendeiner Stelle runden:
$$sin(62°) = 0,8829$$ In den meisten Fällen sind vier Nachkommastellen genau genug!

Vom Winkel zum Sinus-, Kosinus oder Tangeswert und umgekehrt:
Früher wurden sin-, cos- und tan-Werte und die dazu passenden Winkel in Tabellen nachgeschlagen. Heute verwenden wir dazu in der Regel einen Taschenrechner!

Die Funktionen $sin$, $cos$ und $tan$ bestimmen den passenden Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert zu einem bestimmten Winkel.

Die Funktionen $sin^{-1}$, $cos^{-1}$ und $tan^{-1}$ bestimmen dagegen den passenden Winkel zu einem bestimmten Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert.

Beispiel:
$$sin(62) = 0,8829$$ $$sin^{-1}(0,8829) = 62$$ Achtung! Jeder Taschenrechner funktioniert etwas anders!

  Berechnung fehlender Größen

Allgemeiner Rechenweg
1. Schritt: Entscheidung welche Winkelfunktion wir verwenden
2. Schritt: Werte in die Formel einsetzen
3. Schritt: Die daraus gebildete Gleichung lösen

Erstes Beispiel: Seite berechnen
„Ein Dreieck hat außer einem rechten Winkel noch einen weiteren Winkel von 20°. Die Seite, die dem 20° Winkel gegenüber liegt, ist 8 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?”

1. Schritt: Welche Winkelfunktion?

Beteiligt: $\color{red}{\alpha} = 20°~~~~ \color{red}{GK} = 8 cm~~~~ \color{red}{Hy}=x$.

$sin(\color{red}{\alpha})=\frac{\color{red}{GK}}{\color{red}{Hy}}~~~~ cos(\color{red}{\alpha})=\frac{AK}{\color{red}{Hy}}~~~~ tan(\color{red}{\alpha})=\frac{\color{red}{GK}}{AK}$

Wir entscheiden uns für den Sinus, da nur hier alle beteiligten Größen vorkommen.

2. Schritt: Werte einsetzen

$sin(20) = \frac{8}{x}$

3. Schritt: Gleichung lösen

$sin(20) = \frac{8}{x}~|~\cdot x$

$ sin(20)\cdot x= 8~|~: sin(20)$

$x = \frac{8}{sin(20)}$

$x = \frac{8}{0,3420}$

$x \approx 23,4$


„Die Hypotenuse ist etwa 23,4 cm lang.”

Berechnung mit dem Taschenrechner (Bsp.: Casio fx-85MS):

In zwei Schritten:
1) Sinuswert berechnen

2) Gerundeten (mindestens vier Nachkommastellen) Wert wieder eingeben

2) oder mit dem letzten Ergebnis weiterrechnen


In einem Schritt:



Zweites Beispiel: Winkel berechnen
„Die Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 7 cm lang, die Ankathete 8 cm. Wie groß ist der zugehörige Winkel?”

1. Schritt: Welche Winkelfunktion?

Beteiligt: $\color{red}{\alpha} = ?~~~~ \color{red}{GK} = 7 cm~~~~ \color{red}{AK} = 8 cm$

$sin(\color{red}{\alpha})=\frac{\color{red}{GK}}{Hy}~~~~ cos(\color{red}{\alpha})=\frac{\color{red}{AK}}{Hy}~~~~ tan(\color{red}{\alpha})=\frac{\color{red}{GK}}{\color{red}{AK}}$

Wir entscheiden uns für den Tangens, da nur hier alle beteiligten Größen vorkommen.

2. Schritt: Werte einsetzen

$tan(\alpha) = \frac{7}{8}~$

$tan(\alpha) = 0,875~$

$\alpha = tan^{-1}(0,875)$

$ \alpha \approx 41°$


„Der gesuchte Winkel hat etwa 41°.”

Berechnung mit dem Taschenrechner (Bsp.: Casio fx-85MS):

In zwei Schritten:
1) Sieben Achtel berechnen

2) Wert wieder eingeben

2) oder mit dem letzten Ergebnis weiterrechnen


In einem Schritt: