2. Potenzen & Wurzeln - Einführung

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Inhalt

Potenzen
Wurzeln
Wurzeln und Vorzeichen
Aufgaben
Lösungen

  Potenzen

Definition: $\underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n~Faktoren} = a^n $

$a^n$ (lies: "a hoch n"), a ist die Basis, n ist der Exponent

Verb: "Potenzieren", bei hoch 2 auch: "Quadrieren".

Beispiele: $5^2=5 \cdot 5=25~~~~~2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$

Die Potenz ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht:
$a^b \not = b^a$
Beispiel: $3^2=3 \cdot 3=9$ aber $2^3=2 \cdot 2 \cdot2=8$

Besondere Sprechweise: Statt "x hoch 2" sagen wir in der Regel "x Quadrat".
Statt "x hoch 3" wird gelegentlich "x Kubik" gesagt.

Die Quadratzahlen in der folgenden Tabelle sollten Sie auswendig lernen:

$0^2=~~0$$1^2=~~1$$2^2=~~4$$3^2=~~9$$4^2=~16$
$5^2=~25$$6^2=~36$$7^2=~49$$8^2=~64$$9^2=~81$
$10^2=100$$11^2=121$$12^2=144$$13^2=169$$14^2=196$
$15^2=225$$16^2=256$$17^2=289$$18^2=324$$19^2=361$
$20^2=400$

  Wurzeln

Definition: $\sqrt[n]{b} = w$   wenn:   $w^n = b$

$\sqrt[n]{b}$ (lies: n-te Wurzel aus b)

Verb: "Wurzel ziehen", "Ich ziehe die dritte Wurzel aus 125"

Beispiele: $\sqrt[2]{144} = 12~~~~ \sqrt[3]{8} = 2$

Besondere Sprechweise: Statt "zweiter Wurzel" sagen wir in der Regel "Quadratwurzel". Statt "dritter Wurzel" wird gelegentlich "Kubikwurzel" gesagt.

Besondere Schreibweise: Bei Quadratwurzeln darf die 2 weggelassen werden.
Beispiel: $\sqrt[2]{64}=8$   oder   $\sqrt{64}=8$

Potenzen und Wurzeln können sich gegenseitig aufheben: Bei gleichem Exponenten heben sich Potenzen und Wurzeln gegenseitig auf. Umkehrrechnung.

$\sqrt[n]{a^n}=a$   oder  $\left(\sqrt[n]{a} \right)^n=a$

Beispiel:

$\sqrt[9]{2^9}=2$   oder  $\left(\sqrt[9]{2} \right)^9=2$
Ausgerechnet:
$2^9=512$    $\sqrt[9]{512}=2$      $\sqrt[9]{2}=1,0800597389...$    $1,0800597389...^9=2$

  Wurzeln und Vorzeichen

Wurzeln aus negativen Zahlen
Wurzeln aus negativen Zahlen können wir ziehen, wenn der Exponent ungerade ist. Beispiel:

$\sqrt [3]{-8} = -2$    weil: $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (+4) \cdot (-2) = -8$

Wir können sie dagegen nicht ziehen, wenn der Exponent gerade ist. Beispiel:

$\sqrt [2]{-4} = ???$    weil: $(+2) \cdot (+2) = +4$ aber auch: $(-2) \cdot (-2) = +4$

Solange wir auch suchen, wir finden keine reelle Zahl, die als Ergebnis taugt. Rechnen wir mit komplexen Zahlen, gibt es Lösungen, aber komplexe Zahlen liegen weit über dem Realschulniveau und werden daher hier nicht behandelt!

Wir schreiben also: $\sqrt [2]{-4} = keine~reelle~Lösung$

Wurzeln mit negativen Ergebnissen
Wurzeln mit geradem Exponenten haben immer zwei Ergebnisse, ein positives und ein negatives! Beispiel:

$\sqrt {25} = \pm 5$    weil:  $(+5) \cdot (+5) = 25$ und $(-5) \cdot (-5) = 25$

In den meisten Fällen brauchen wir das negative Ergebnis nicht zu beachten und verwenden nur das positive.
In Gleichungen oder bei der Verwendung von Koordinatenkreuzen kann dagegen auch das negaive Ergebnis von Belang sein.

Bei Wurzeln mit ungeraden Exponenten hat das Ergebnis immer das gleiche Vorzeichen, wie die Zahl, aus der Wurzel gezogen wurde. Beispiele:

$\sqrt[3]{8} = 2~~~~~~~~~\sqrt[3]{-8} = -2$

  Aufgaben

Potenzen ganzer Zahlen
$$\begin{matrix} 1)~&2^2&=&~\\ 2)~&3^2&=&~\\ 3)~&4^2&=&~\\ 4)~&5^2&=&~\\ 5)~&6^2&=&~\\ 7)~&7^2&=&~\\ 8)~&8^2&=&~\\ 9)~&9^2&=&~\\ 10)~&10^2&=&~\\ 11)~&11^2&=&~\\ 12)~&12^2&=&~\\ 13)~&2^3&=&~\\ 14)~&3^3&=&~\\ 15)~&4^3&=&~\\ 16)~&5^3&=&~\\ 17)~&2^5&=&~\\ 18)~&2^{10}&=&~\\ 19)~&8^3&=&~\\ 20)~&3^8&=&~\\ \end{matrix}$$ Potenzen mit negativer Basis
$$\begin{matrix} 1)~&(-3)^2&=&\\ 2)~&(-3)^3&=&\\ 3)~&(-3)^4&=&\\ 4)~&(-5)^2&=&\\ 5)~&(-5)^3&=&\\ 6)~&4(-5)^4&=&\\ 1)~&(-1)^2&=&\\ 2)~&(-1)^3&=&\\ 3)~&4(-1)^4&=&\\ \end{matrix}$$ Wurzeln
$$\begin{matrix} 1)~&\sqrt{9}&=&\\ 2)~&\sqrt{25}&=&\\ 3)~&\sqrt{-9}&=&\\ 4)~&\sqrt[3]{27}&=&\\ 5)~&\sqrt[3]{8}&=& \\ 6)~&\sqrt[3]{125}&=&\\ 7)~&\sqrt[3]{-27}&=&\\ 8)~&\sqrt[3]{-8}&=& \\ 9)~&\sqrt[3]{-125}&=&\\ 10)~&\sqrt[4]{16}&=&\\ 11)~&\sqrt[4]{-16}&=&\\ 12)~&\sqrt[4]{81}&=&\\ 13)~&\sqrt[4]{-81}&=&\\ 14)~&\sqrt[9]{-512}&=&\\ 15)~&\sqrt[10]{-1024}&=&\\ 16)~&\sqrt[9]{512}&=&\\ 17)~&\sqrt[10]{1024}&=&\\ 18)~&\sqrt[3]{-1}&=&\\ 19)~&\sqrt[4]{-1}&=&\\ 20)~&\sqrt{0}&=&\\ \end{matrix}$$

  Lösungen

Potenzen ganzer Zahlen
$$\begin{matrix} 1)~&2^2&=&4\\ 2)~&3^2&=&9\\ 3)~&4^2&=&16\\ 4)~&5^2&=&25\\ 5)~&6^2&=&36\\ 7)~&7^2&=&49\\ 8)~&8^2&=&64\\ 9)~&9^2&=&81\\ 10)~&10^2&=&100\\ 11)~&11^2&=&121\\ 12)~&12^2&=&144\\ 13)~&2^3&=&8\\ 14)~&3^3&=&27\\ 15)~&4^3&=&64\\ 16)~&5^3&=&125\\ 17)~&2^5&=&32\\ 18)~&2^{10}&=&1024\\ 19)~&8^3&=&512\\ 20)~&3^8&=&6561\\ \end{matrix}$$ Potenzen mit negativer Basis
$$\begin{matrix} 1)~&(-3)^2&=&9\\ 2)~&(-3)^3&=&-27\\ 3)~&(-3)^4&=&81\\ 4)~&(-5)^2&=&25\\ 5)~&(-5)^3&=&-125\\ 6)~&4(-5)^4&=&625\\ 1)~&(-1)^2&=&1\\ 2)~&(-1)^3&=&-1\\ 3)~&4(-1)^4&=&1\\ \end{matrix}$$ Wurzeln
$$\begin{matrix} 1)~&\sqrt{9}&=&\pm 3\\ 2)~&\sqrt{25}&=&\pm 5\\ 3)~&\sqrt{-9}&=&keine~reelle~Lösung\\ 4)~&\sqrt[3]{27}&=& 3\\ 5)~&\sqrt[3]{8}&=& 2\\ 6)~&\sqrt[3]{125}&=&5\\ 7)~&\sqrt[3]{-27}&=& -3\\ 8)~&\sqrt[3]{-8}&=& -2\\ 9)~&\sqrt[3]{-125}&=&-5\\ 10)~&\sqrt[4]{16}&=&\pm 4\\ 11)~&\sqrt[4]{-16}&=&keine~reelle~Lösung\\ 12)~&\sqrt[4]{81}&=&\pm 3\\ 13)~&\sqrt[4]{-81}&=&keine~reelle~Lösung\\ 14)~&\sqrt[9]{-512}&=&-2\\ 15)~&\sqrt[10]{-1024}&=&keine~reelle~Lösung\\ 16)~&\sqrt[9]{512}&=&2\\ 17)~&\sqrt[10]{1024}&=&2\\ 18)~&\sqrt[3]{-1}&=&-1\\ 19)~&\sqrt[4]{-1}&=&keine~reelle~Lösung\\ 20)~&\sqrt{0}&=&0\\ \end{matrix}$$