Ganzzahlige Division

Als natürliche Zahlen bezeichnen wir die Zahlen, die wir für den Vorgang des Zählens verwenden.

Eine Verkäuferin zählt die Smartphones, im Lager des Geschäftes. Da gibt es keine halben Sachen! Ein halbes Smartphone ist einfach nur wertloser Elektronikschrott. Sie zählt also: 1,2,3... bis zum Ende.

In der Mathematik fassen wir die natürlichen Zahlen zu einer Menge zusammen:

$$ \mathbb{N}=\{1; 2; 3; 4; 5; 6; ...\} $$

Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht. Würden wir zum Beispiel die 5 als größte natürliche Zahl bezeichnen, so bräuchten wir nur 1 zu addieren und erhielten mit der 6 die nächst größere. Das könnten wir immer so weiter machen. Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

Teilen wir eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl, so kann die Division aufgehen oder auch nicht.

Wann geht eine Division auf?

Beispiel 1:

Wir möchten acht Smartphones gleichmäßig auf zwei Verkaufsregale verteilen. Wir rechnen:

$$8:2=4$$

Auf jedes Regal kommen vier Smartphones. Es bleibt keines übrig. Das heißt: „Die Division geht auf.“

Wollen wir dagegen sieben Smartphones gleichmäßig auf zwei Verkaufsregale verteilen, sieht das schon anders aus:

$$7:2=3,5$$

Da 0,5 Smartphones nur wertloser Elektronikschrott sind, müssen wir anders rechnen:

$$7:2=3~Rest~1$$

Die Division „geht nicht auf“. Es bleibt ein Rest von einem Gerät übrig.

Beispiele für Divisionen mit und ohne Rest:

$$ \begin{array}{} 6:3&=&2\\ 7:3&=&2~Rest~1\\ 8:3&=&2~Rest~2\\ 9:3&=&3\\ \end{array} $$

Eine Division geht auf, wenn sie keinen Rest hat.

Eine natürliche Zahl ist durch eine andere natürliche Zahl teilbar, wenn die Division aufgeht. Im folgenden ein paar einfache Regeln, an denen wir erkennen können, ob eine Division aufgeht.

Durch 2

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

Beispiele:

12346 ist durch 2 teilbar, weil 6 durch 2 teilbar ist.

12345 ist nicht durch 2 teilbar, weil 5 nicht durch 2 teilbar ist.

Durch 3

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Beispiele:

12345 ist durch 3 teilbar, weil 1+2+3+4+5=15 durch 3 teilbar ist.

12346 ist nicht durch 3 teilbar, weil 1+2+3+4+6=16 nicht durch 3 teilbar ist.

Durch 4

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

Beispiele:

3712 ist durch 4 teilbar, weil 12 durch 4 teilbar ist.

3722 ist nicht durch 4 teilbar, weil 22 nicht durch 4 teilbar ist.

Durch 5

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist.

Beispiele:

12345 ist durch 5 teilbar, weil 5 die letzte Ziffer ist.

12346 ist nicht durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer keine 5 und keine 0 ist.

Durch 6

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 (siehe oben) und durch 3 (siehe oben) teilbar ist.

Durch 7

Diese Regel ist etwas kompliziert und wird deshalb hier nicht behandelt.

Durch 8

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.

Beispiele:

77048 ist durch 8 teilbar, weil 048 durch 8 teilbar ist.

77148 ist nicht durch 8 teilbar, weil 148 nicht durch 8 teilbar ist.

Durch 9

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Beispiele:

10008 ist durch 9 teilbar, weil 1+0+0+0+8=9 durch 9 teilbar ist.

10108 ist nicht durch 9 teilbar, weil 1+0+1+0+8=10 nicht durch 9 teilbar ist.

Durch 10

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

Was Komplementärteiler sind, läßt sich an einem Beispiel zeigen:

$$24 : 4 = 6$$

Die 24 ist durch 4 teilbar.

Weil das Ergebnis von 24 durch 4 aber 6 ist, ist die 24 auch durch 6 teilbar:

$$24 : 6 = 4$$

Die 4 und die 6 sind beim Teilen der 24 sozusagen Partner oder anders gesagt:

Komplementärteiler

.

Die Teilermenge einer ganzen Zahl ist die Menge aller ganzen Zahlen, durch die diese Zahl teilbar ist.

Durch welche Zahlen ist die 18 teilbar?

Die 18 ist durch 1 teilbar, weil jede Zahl durch 1 teilbar ist. Das liegt daran, weil die 1 beim Dividieren neutral ist.

Mit jedem Teiler finden wir auch den entsprechenden Komplementärteiler. $18:1=18$ Wir können also eine vorläufige (unvollständige) Teilermenge von 18 aufstellen:

$$T(18)=\lbrace 1;...;18 \rbrace$$

Die 18 ist auch durch 2 und somit ($18:2=9$) auch durch 9 teilbar.

$$T(18)=\lbrace 1;2;...;9;18 \rbrace$$

Auch die 3 und ($18:3=6$) die 6 gehören in die Teilermenge.

$$T(18)=\lbrace 1;2;3;...;6;9;18 \rbrace$$

Die 4 und die 5 sind keine Teiler der 18. Die nächste natürliche Zahl ist die 6. Aber die haben wir schon berücksichtigt. Die Zahlen 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 und 17 brauchen wir gar nicht mehr zu prüfen, weil die entsprechenden kleineren Komplementärteiler längst hätten auftauchen müssen. Da das nicht der Fall ist, können wir sicher sein, dass die Teilermenge komplett ist:

$$T(18)=\lbrace 1;2;3;6;9;18 \rbrace$$

Schauen wir uns die Teilermengen der ersten zwanzig natürlichen Zahlen an:

$$ \begin{array}{lllllll} T(1)&=&\lbrace1\rbrace&~~~~&T(11)&=&\lbrace1;11\rbrace\\ T(2)&=&\lbrace1;2\rbrace&~~~~&T(12)&=&\lbrace1;2;3;4;6;12\rbrace\\ T(3)&=&\lbrace1;3\rbrace&~~~~&T(13)&=&\lbrace1;13\rbrace\\ T(4)&=&\lbrace1;2;4\rbrace&~~~~&T(14)&=&\lbrace1;2;7;14\rbrace\\ T(5)&=&\lbrace1;5\rbrace&~~~~&T(15)&=&\lbrace1;3;5;15\rbrace\\ T(6)&=&\lbrace1;2;3;6\rbrace&~~~~&T(16)&=&\lbrace1;2;4;8;16\rbrace\\ T(7)&=&\lbrace1;7\rbrace&~~~~&T(17)&=&\lbrace1;17\rbrace\\ T(8)&=&\lbrace1;2;4;8\rbrace&~~~~&T(18)&=&\lbrace1;2;3;6;9;18\rbrace\\ T(9)&=&\lbrace1;3;9\rbrace&~~~~&T(19)&=&\lbrace1;19\rbrace\\ T(10)&=&\lbrace1;2;5;10\rbrace&~~~~&T(20)&=&\lbrace1;2;4;5;10;20\rbrace\\ \end{array} $$ Wenn wir die Elemente zählen, die sich in der Teilermenge befinden, stellen wir fest, dass es immer wieder natürliche Zahlen gibt, die genau zwei Teiler haben:

Die eins und als Komplementärteiler sich selbst.

Definition:

Eine ganze Zahl, die genau zwei Teiler hat, ist eine Primzahl.

Wichtig! Die kleinste Primzahl ist nicht die 1 (sie hat nur einen Teiler), sondern die 2.

Eine wichtige mathematische Erkenntnis (Hauptsatz der Zahlentheorie) lautet:

„Jede natürliche Zahl, die größer ist als eins und selbst keine Primzahl ist, kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.“

Probieren wir das mit der 42 aus. Wir teilen die 42 so lange durch die kleinste Primzahl, wie es möglich ist. Dann teilen wir das Ergebnis so oft wie möglich durch die nächst größere Primzahl. Das machen wir so oft, bis nur noch ein Produkt aus Primzahlen übrig bleibt:

$$\begin{array}{r|r} 42&2\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcl} 42&=&2 \cdot 3 \cdot 7\\ \end{array} $$

Die Zahlen 2, 3 und 7 sind Primzahlen und können nicht mehr weiter zerlegt werden.

Weitere Beispiele:

$$\begin{array}{r|r} 252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 252&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&7\\ \end{array} $$

und

$$\begin{array}{r|r} 90&2\\ 45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 90&=&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5\\ \end{array} $$

Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen finden wir, indem wir die Teilermengen vergleichen.

Beispiel:

Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 252 und 90.

$T(252)=\{1;2;3;4;6;7;9;12;14;\color{blue}{18};21;28;36;42;63;84;126;252\}$

$T(90)=\{1;2;3;5;6;9;10;15;\color{blue}{18};30;45;90\}$

Der größte gemeinsame Teiler von 252 und 90 ist die 18. In mathematischer Schreibweise ausgedrückt:

$$ggT(252;90)=18$$

Dieses Verfahren ist etwas mühsam, da wir für $T(252)$ und $T(90)$ insgesamt 30 Teiler ($18 + 12$) bestimmen mussten.

Über die Primfaktorzerlegung geht es einfacher:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl, wenn sie auch Primfaktoren der zweiten Zahl sind (blau):

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 252&\color{blue}2&~~&90&\color{blue}2\\ 126&2&~~&45&\color{blue}3\\ 63&\color{blue}3&~~&15&\color{blue}3\\ 21&\color{blue}3&~~&5&5\\ 7&7&~~&1&~\\ 1&~&~~&~&~\\ \end{array} $$

Gemeinsame Primfaktoren: Einmal 2 und zweimal 3. Wir rechnen:

$$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 2&\cdot&3&\cdot&3&=&18 \end{array} $$

Gibt es keine gemeinsamen Primfaktoren, so ist der größte gemeinsame Teiler gleich eins.

Noch einfacher geht es mit dem Verahren von Euklid:

$$ \begin{array}{rrrrrrr} 252&:&\color{red}{90}&=&2&Rest&\color{green}{72}\\ \color{red}{90}&:&\color{green}{72}&=&1&Rest&\color{blue}{18}\\ \color{green}{72}&:&\color{blue}{18}&=&4&Rest&0\\ \end{array} $$

Erste Zeile: Wir teilen die größere der beiden Zahlen durch die kleinere.

Zweite Zeile: Wir teilen den Teiler aus der vorherigen Zeile durch den Rest der vorherigen Zeile.

Weitere Zeilen: Das wiederholen wir so lange, bis der Rest null ergibt.

Der letzte Rest, der nicht null war ist der größte gemeinsame Teiler.

Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen die 1, so nennen wir diese Zahlen teilerfremd.

Beispiel:

Die Zahlen 15 und 14 sind teilerfremd, denn

$$ggT(15;14)=1$$

wie der Vergleich der Teilermengen zeigt:

$$\begin{array}{rrr} T_{15}&=&\{\color{blue}1;3;5;15\}\\ T_{14}&=&\{\color{blue}1;2;7;14\}\\ \end{array}$$

oder die Primfaktorzerlegung:

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 15&3&~~&14&2\\ 5&5&~~&7&7\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$

oder das Verfahren von Euklid:

$$ \begin{array}{rrrrrrr} 15&:&\color{red}{14}&=&1&Rest&\color{blue}{1}\\ \color{red}{14}&:&\color{blue}{1}&=&14&Rest&0\\ \end{array} $$

Anstelle von Teilermengen, können wir auch die Menge der Vielfachen einer natürlichen Zahl bilden.

$$ \begin{array}{lll} V_{30}&=&\{30;60;90;120;150;\color{blue}{180};210;...\}&\\ \end{array} $$

immer 30 addieren.

$$ \begin{array}{lll} V_{36}&=&\{36;72;108;144;\color{blue}{180};216;...\}&\\ \end{array} $$

immer 36 addieren.

Wie wir sehen enthält die Menge der Vielfachen im Gegensatz zur Teilermenge unendlich viele Elemente.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 30 ist die 180. Mathematisch ausgedrückt:

$$kgV(36;30)=180$$

Berechnung über die Primfaktorzerlegung:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl mit allen Primfaktoren der zweiten Zahl. Von den doppelt vorkommenden Primfaktoren (rot) nehmen wir jeweils nur einen.

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 36&2&~~&30&\color{red}2\\ 18&2&~~&15&\color{red}3\\ 9&3&~~&5&5\\ 3&3&~~&1&~\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$ $$ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180 $$

Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache auch recht einfach nach folgender Formel berechnen:

$$kgV(a;b)=\frac{a \cdot b}{ggT(a;b)}$$

Beispiel:

$$kgV(36;30)=\frac{36 \cdot 30}{ggT(36;30)}$$ $$kgV(36;30)=\frac{1080}{6}$$ $$kgV(36;30)=180$$

PDF-Übung: Teilermengen 1 bis 100

PDF-Übung: ggT Berechnung nach dem Euklidschen Verfahren

PDF-Übung: ggT und kgV Berechnung