5. Maßeinheiten, Berechnung von Länge, Fläche und Volumen

Impressum   © Jakob Fechtig

Inhalt

Internationales Einheitensystem
Längen und Entfernungen
Flächen
Rauminhalte (Volumen)
Gewichte
Umfangs- und Flächenberechnung: Dreieck
Umfangs- und Flächenberechnung: Weitere Formen
Zusammengesetzte oder durchlöcherte Flächen
Volumen
Volumenberechnung als Teil einer größeren Aufgabe

 Internationales Einheitensystem

Um dem Wirrwarr unterschiedlicher Maßeinheiten in verschiedenen Nationen zu begegnen, wurde das Internationale Einheitensystem gegründet.
Maßeinheiten, die zu diesem System gehören, nennen wir SI-Einheiten.

 Längen und Entfernungen

Einheit: Zur Messung von Längen und Entfernungen verwenden wir die SI-Einheit Meter.

Abkürzung: $m$

Präfixe: Durch sogenannte Präfixe können wir die Maßeinheit vergrößern oder verkleinern.
Im folgenden werden die für uns wichtigen Präfixe (es gibt noch mehr!) und die Umrechnungsfaktoren aufgelistet:

Kilometer:$1~km$$=$$1000~m$ 
     
Dezimeter:$10~dm$$=$$1~m$ 
Zentimeter:$100~cm$$=$$1~m$ 
Millimeter:$1000~mm$$=$$1~m$ 

 Flächen

Einheit: Flächen messen wir mit der Einheit Quadratmeter.

Abkürzung: $m^2$

Präfixe: Auch hier können wir die Maßeinheit durch Präfixe vergrößern oder verkleinern.
Achtung: Wie die Maßeinheit Meter muss auch der Umrechnungsfaktor zum Quadrat genommen werden.
Im folgenden werden die für uns wichtigen Präfixe (und zwei weitere Maßeinheiten) sowie die Umrechnungsfaktoren aufgelistet:

Quadratkilometer:$1~km^2$$=$$1000000~m^2$ 
     
Quadratdezimeter:$100~dm^2$$=$$1~m^2$ 
Quadratzentimeter:$10000~cm^2$$=$$1~m^2$ 
Quadratmillimeter:$1000000~mm^2$$=$$1~m^2$ 
     
Ar:$1~a$$=$$100~m^2$ 
     
Hektar:$1~ha$$=$$100~a$ 
 $1~ha$$=$$10000~m^2$ 

 Rauminhalte (Volumen)

Einheit: Volumen messen wir mit der Einheit Kubikmeter.

Abkürzung: $m^3$

Präfixe: Auch hier können wir die Maßeinheit durch Präfixe vergrößern oder verkleinern.
Achtung: Wie die Maßeinheit Meter muss auch der Umrechnungsfaktor hoch drei genommen werden.
Im folgenden werden die für uns wichtigen Präfixe (und eine weitere Maßeinheit) sowie die Umrechnungsfaktoren aufgelistet:

Kubikkilometer:$1~km^3$$=$$1000000000~m^3$
    
Kubikdezimeter:$1000~dm^3$$=$$1~m^3$
Kubikzentimeter:$1000000~cm^3$$=$$1~m^3$
Kubikmillimeter:$1000000000~m^3$$=$$1~m^3$
    
Liter:$1~l$$=$$1000~cm^2$

 Gewichte

Einheit: Zur Messung von Gewichten verwenden wir die SI-Einheit Gramm.

Abkürzung: $g$

Präfixe: Durch sogenannte Präfixe können wir die Maßeinheit vergrößern oder verkleinern.
Im folgenden werden die für uns wichtigen Präfixe und die Umrechnungsfaktoren aufgelistet:

Kilogramm:$1~kg$$=$$1000~g$ 
Milligramm:$1000~mg$$=$$1~g$ 

 Umfangs- und Flächenberechnung: Dreieck

Bezeichnungen
Dreieck
Üblicherweise werden die Ecken eines Dreieckes gegen den Uhrzeigersinn mit großen Buchstaben ABC numeriert. Die gegenüberliegenden Seiten werden mit dem passenden kleinen Buchstaben bezeichnet.
Von jeder Seite aus können wir die Höhe $h_a,~ h_b,~ h_c$ bis zur gegenüberliegenden Ecke messen.

Umfang (U)
$$U = a + b + c$$
Fläche (A)
Es gibt drei Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen: $$A = \frac{a \cdot h_a}{2}$$ $$A = \frac{b \cdot h_b}{2}$$ $$A = \frac{c \cdot h_c}{2}$$ In einer gängigen Formelsammlung werden wir die Flächenformel in folgender Form finden: $$A = \frac{g \cdot h}{2}$$ Der Buchstabe $g$ bedeutet Grundlinie und kann jede Dreiecksseite sein. Der Buchstabe $h$ steht für die entsprechende Höhe auf dieser Grundlinie.

Flächenberechnungsbeispiele
1) Ein Dreieck hat eine Grundlinie von 10 cm und eine Höhe von 5 cm. Wie groß ist seine Fläche?

Wir setzen die Zahlen in die Formel ein und rechnen die Fläche aus:

$A = \frac{g \cdot h}{2} | g = 10 ~ h = 5$

$A = \frac{10 \cdot 5}{2}$

$A = 25$

Das Dreieck hat eine Fläche von 25 cm². Da die beiden Längen in Zentimetern gemessen waren, liefert die Berechnung das Ergebnis in Quadratzentimetern.

ACHTUNG: In der Antwort muss die korrekte Maßeinheit des Ergebnisses angegeben werden!

2) Ein Dreieck hat eine Grundlinie von 0,5 m und eine Höhe von 20 cm. Wie groß ist seine Fläche?

Hier liegen Grundlinie und Höhe in verschiedenen Maßeinheiten vor. Wir müssen eine von beiden umrechnen, damit wir die Zahlen in die Formel einsetzen können. Wir entscheiden uns $g$ umzurechnen:

$0,5 m = 50 cm$

$A = \frac{50 \cdot 20}{2}$

$A = 500$

Das Dreieck hat eine Fläche von 500 cm².

 Umfangs- und Flächenberechnung: Weitere Formen

Sie sollten auch mit den folgenden ebenen Figuren umgehen können:

Quadrat
Quadrat

$A=a^2~~~U=4 \cdot a$

Rechteck
Rechteck

$A=a \cdot b~~~U=2 \cdot a + 2 \cdot b$

Parallelogramm
Parallelogramm

$A=g \cdot h$

Trapez
Trapez

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Drachen
Drachen

$A=\frac{e \cdot f}{2}$

Kreis
M: Mittelpunkt,    r: Radius (halber Durchmesser)
Kreis

$A=\pi \cdot r^2~~~U=2 \cdot \pi \cdot r$

 Zusammengesetzte oder durchlöcherte Flächen

Beispiel 1
Erste zusammengesetzte Figur

Wie groß ist die graue Fläche?

Erster Schritt
Wir machen uns klar, dass die zu berechnende Fläche aus einem Trapez und einem Halbkreis zusammengesetzt ist.

Zweiter Schritt
Wir berechnen den Halbkreis:
Der Radius ist der halbe Durchmesser:
$r = 10 : 2$
$r = 5$
Berechnung der Kreisfläche:
$A = \pi \cdot 5^2$
$A = 78,53981634...$
Halbieren
$\frac{A}{2} = 39,26990817...$

Dritter Schritt
Trapez berechnen: $A = \frac{20 + 10}{2} \cdot 15$
$A = 225$

Vierter Schritt
Teilflächen addieren:

$225 + 39,26990817... \approx 264,3$

Antwortsatz: "Das Trapez hat eine Fläche von rund 264,3 cm²"

Beispiel 2
Wie groß ist die graue Fläche?

Drachen mit Loch

Fläche Drachen:
$A = \frac{80 \cdot 50}{2}$
$A = 2000$

Fläche Kreis:
$r = 8$
$A = \pi \cdot 8^2$
$A = 201,0619...$

Kreis vom Drachen abziehen:

$2000 - 201,0619... \approx 1799$

Antwortsatz: "Der Drachen hat eine Fläche von etwa 1799 cm²."

 Volumen

Im folgenden werden einige wichtige Formeln zur Berechnung von Volumen vorgestellt.
Abkürzungen: V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche (Oberfläche ohne "Deckel" und "Boden"), G Grundfläche, U Umfang der Grundfläche.

Würfel
Würfel

$V = a^3~~~~~~~O = 6 \cdot a^2$

Quader
Quader

$V = a \cdot b \cdot c~~~~~~~O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot b \cdot c + 2 \cdot a \cdot c$

Prisma
Prisma

$V = G \cdot h_k~~~~~~~M = U \cdot h_k~~~~~~O = 2 \cdot G + M$

Zylinder
Zylinder

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h_k~~~~~~~G = \pi \cdot r^2~~~~~~U = 2 \cdot \pi \cdot r~~~~~~M = U \cdot h_k~~~~~~O = 2 \cdot G + M$

Anmerkung: Ein Zylinder ist im Prinzip ein Prisma mit einer kreisförmigen Grundfläche.

Kugel
Kugel

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 ~~~~~~O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

 Volumenberechnung als Teil einer größeren Aufgabe

Aufgabe
Ein Aquarium ist 50 cm lang, 20 cm breit und 40 cm hoch. Es ist bis zu einer Höhe von 25 cm mit Wasser befüllt.

Aquarium

a)
Wieviel Liter Wasser befinden sich zur Zeit in diesem Aquarium?

b)
Um wieviel Zentimeter steigt der Wasserspiegel, wenn wir eine Eisenkugel mit 10 cm Durchmesser in das Aquarium legen?
Anmerkung: Die Eisenkugel ist so schwer, dass sie zu Boden sinkt.

Lösung
zu a)
Wir haben einen Quader mit der Länge 50 cm, der Breite 20 cm und der Höhe 25 cm.
Achtung! Denken Sie daran, dass das Aquarium nur bis zu einer Höhe von 25 cm befüllt ist. Die Höhe des Quaders beträgt als 25 cm und nicht 40 cm. Wir rechnen:

$V = 50 \cdot 20 \cdot 25$
$V = 25000$

Das sind $25000 cm^3$. Umrechnung in Liter $25000 : 1000 = 25 l$

Antwortsatz: "Das Aquarium enthält 25 Liter Wasser."

zu b)
Die Eisenkugel verdrängt, da sie untergeht, genau so viel Wasser, wie ihr eigenes Volumen.
Volumen der Eisenkugel:

Radius (halber Durchmesser): 5 cm
$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 5^3$
$V = 523,599...cm^3$

Zusätzliches Volumen addieren:

$25000 + 523,599... = 25523,599...$

Berechnung der Füllhöhe mit Hilfe der Volumenformel von Quadern:

$V = a \cdot b \cdot c$
$25523,599... = 50 \cdot 20 \cdot c$
$25523,599... = 1000 \cdot c$
$25523,599... : 1000 = c$
$25,523599... : 1000 = c$
$25,5 \approx c$

Wir erreichen eine Füllhöhe von etwa $25,5 cm$. Gefragt ist aber, um wieviel der Wasserspiegel steigt. Wir rechnen weiter:

$25,5 - 25 = 0,5$

Antwortsatz: "Der Wasserspiegel steigt um 0,5 cm."