7. Variablen

Impressum   © Jakob Fechtig

Inhalt

Was sind Variablen?
Verkürzte Schreibweisen
Übersichtliche Schreibreihenfolge
Zusammenfassendes Rechnen

 Was sind Variablen?

Variablen sind Buchstaben, die wir in Rechenausdrücken an Stelle von Zahlen einsetzen.
Das machen wir zum Beispiel, um eine Formel zu verallgemeinern.
Beispiel:
$A=\frac{g + h}{2}$ Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks.

 Verkürzte Schreibweisen

Multiplikation ohne Punkt
Wird eine Variable mit einer Zahl oder werden Variablen mit Variablen multipliziert, dürfen wir den Malpunkt weglassen.
Beispiele:
Statt: $4 \cdot x$ schreiben wir: $4x$
Statt: $a \cdot b \cdot c$ schreiben wir: $abc$

Werden Zahlen multipliziert, dürfen wir den Malpunkt auf keinen Fall weglassen!
Beispiel:
$3 \cdot 4 \not = 34$   denn   $3 \cdot 4 = 12$

Neutrale Zahlen weglassen
Zahlen, die auf das Rechenergebnis keinen Einfluß haben, lassen wir in der Regel weg.

Beispiele:
Neutralität der Null
Statt: $x +y +0$ schreiben wir: $x+y$
Statt: $x-y-0$ schreiben wir: $x-y$

Mal null macht alles zu null
Statt: $0x$ schreiben wir: $0$
Statt: $0x + y$ schreiben wir: $y$

Neutralität der Eins
Statt: $1x$ schreiben wir: $x$
Statt: $2x+1y$ schreiben wir: $2x+y$

 Übersichtliche Schreibreihenfolge

Alphabetisch
Wenn es das Kommutativgesetz zulässt (nur dann!), ordnen wir die Buchstaben alphabetisch. Das macht Ausdrücke übersichtlicher.
Beispiele:
Statt: $b + c +d +a$ schreiben wir: $a+b+c+d$
Statt: $bcda$ schreiben wir: $abcd$

Die Subtraktion ist nicht kommutativ!
Wir dürfen statt $a-b$ auf keinen Fall $b-a$ schreiben! Aber $-b+a$, denn hier ist das Minus ein Vorzeichen.
Die Division ist nicht kommutativ!
Wir dürfen statt $a:b$ auf keinen Fall $b:a$ schreiben!
Aber mit Hilfe der Bruchrechnung dürften wir statt $a \cdot \frac {1}{b}$ durchaus $\frac {1}{b} \cdot a$ schreiben

Position der Zahlen
Bei Addition und Subtraktion setzen wir die Zahlen (wenn möglich!) nach rechts.
Beispiele:
Statt $5 + x$ besser $x + 5$ schreiben.
Statt $5 - x$ besser $-x +5$ schreiben. Minus ist hier ein Vorzeichen.

Bei der Multiplikation setzen wir die Zahlen (wenn möglich!) nach links.
Beispiel:
Statt $x \cdot 4$ besser $4x$. Aber niemals $x4$!

 Zusammenfassendes Rechnen

Eine Variable ist nur ein Platzhalter für einen Zahlenwert. Da wir nicht wissen, für welche Zahl eine Variable steht, können wir mit Variablen in den meisten Fällen nicht rechnen. Doch oft können wir durch Zuammenfassungen vereinfachen.

Addition und Subtraktion
Beispiele:
$2a+2b$ Die Punkt vor Strich Regel verlangt, dass wir zuerst multiplizieren und dann addieren. Da wir den Wert der Variablen nicht kennen, können wir hier also nichts machen!

Statt $a + a + a$ dürfen wir $3a$ schreiben, da das der Definition der Multiplikation entspricht.
Statt $a-a$ dürfen wir einfach $0$ schreiben.
Statt $5a +3a$ dürfen wir $8a$ schreiben.
Statt $5a -3a$ dürfen wir $2a$ schreiben.
Statt $2x + 3y -4z + x -2y +4z$ dürfen wir $3x +1y +0z$ oder kürzer $3x+y$ schreiben.

Multiplikation
Beispiele:
Statt $a \cdot a \cdot a$ schreiben wir $a^3$.
Statt $2a \cdot 3a \cdot 5b$ schreiben wir $30a^2b$.

Division
Beispiele:
Statt $a : a$ schreiben wir $1$.
Vorsicht! Da wir nicht durch null teilen können, darf $a$ nie den Wert $0$ annehmen!
Statt $16a : 2$ schreiben wir $8a$.