Lineare Gleichungssysteme

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Inhalt

Gleichungen mit zwei Variablen
Gleichungssysteme
Lösungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Welches Verfahren sollen wir anwenden?
Nicht lösbare Gleichungssysteme
Aufgaben

  Gleichungen mit zwei Variablen

Eine Gleichung mit zwei Variablen (in der Regel $x$ und $y$) hat unendlich viele Lösungen.

Wie kommt das?

Wenn wir für $x$ eine beliebige Zahl einsetzen, können wir ein passendes $y$ berechnen, indem wir die Gleichung lösen und umgekehrt.

Beispiel:

$$ \begin{array}{lcrl} x+y&=&3&~\\ \end{array} $$

Wir setzen für $y$ eine $2$ ein und berechnen $x$:

$$ \begin{array}{lcrl} x+y&=&3&|y=2\\ x+2&=&3&|-2\\ x&=&1&~\\ \end{array} $$

Wir erhalten ein Zahlenpaar $x=1$ $y=2$, das von der Probe als richtige Lösung bestätigt wird:

$$ \begin{array}{lcrl} 1+2&=&3&~\\ \end{array} $$

Nun setzen wir für $x$ eine $7$ ein und berechnen $y$:

$$ \begin{array}{lcrl} x+y&=&3&|x=7\\ 7+y&=&3&|-7\\ y&=&-4&~\\ \end{array} $$

Wir erhalten ein anderes Zahlenpaar $x=7$ $y=-4$, das ebenfalls von der Probe als richtige Lösung bestätigt wird:

$$ \begin{array}{lcrl} 7-4&=&3&~\\ \end{array} $$

Machen Sie sich klar, dass wir auf diese Weise unendlich viele Zahlenpaare erzeugen können, die als Lösung der Gleichung in Frage kommen.

Natürlich löst nicht jedes beliebige Zahlenpaar die Gleichung, wie das folgende Beispiel zeigt:

$$ \begin{array}{lcrl} x+y&=&3&|x=7~y=8\\ 7+8&=^?&3&~\\ 15&\not =&3&~\\ \end{array} $$

Die beiden Zahlen müssen schon zueinander passen. Dennoch gibt es unendlich viele Lösungen.

  Gleichungssysteme

Eine eindeutige Lösung kann es geben, wenn wir zwei Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammenfassen.

Beispiel:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&x+y&=&3&~\\ II&x-y&=&1&~\\ \end{array} $$

Das Zahlenpaar $x=2~y=1$ ist das einzige (ein exakter Beweis würde hier zu weit führen), das von beiden Proben (Gleichung $I$ und Gleichung $II$) bestätigt wird.

$$ \begin{array}{rlcrl} I&2+1&=&3&~\\ II&2-1&=&1&~\\ \end{array} $$

Das Zahlenpaar $x=7$ $y=-4$ wird in der Probe mit Gleichung $I$ zwar als richtig erkannt, aber in der Probe mit Gleichung $II$ als falsch zurückgewiesen:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&7+(-4)&=^?&3&~\\ ~&7-4&=^?&3&~\\ ~&3&=&3&~\\ \\ II&7-(-4)&=^?&1&~\\ ~&7+4&=^?&1&~\\ ~&11&\not=&1&~\\ \end{array} $$

Es gibt auch Gleichungssysteme mit noch mehr Variablen und noch mehr Gleichungen. Das ist aber kein Thema für die Realschulprüfung.

Anmerkung: Ein Gleichungssystem kann eine eindeutige Lösung haben. Das muss aber nicht so sein. Das Gleichungssystem kann auch unlösbar sein oder unendlich viele Lösungen haben.

Von linearen Gleichungssystemen sprechen wir, weil keine der Variablen im Quadrat oder noch einer höheren Potenz vorkommt.

  Lösungsverfahren

Im vorigen Abschnitt haben wir ein Gleichungssystem und dessen Lösung gesehen. Doch wie kommen wir auf diese Lösung?

In den folgenden Abschnitten werden wir zwei Verfahren kennen lernen. Alle beiden Verfahren basieren auf der gleichen Grundidee:

Aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen $x$ und $y$ wird eine Gleichung mit einer Variablen $x$ oder $y$ gemacht.

Diese Gleichung wird gelöst. Dadurch wird der Wert von $x$ beziehungsweise $y$ bekannt.

Diesen Wert setzen wir anstelle der Variablen in einer von beiden Gleichungen ein und berechnen dann den Wert der anderen Variablen.

  Einsetzungsverfahren

Wir möchten das folgende Gleichungssystem lösen:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&3x+y&=&18&~\\ II&x&=&y+2&~\\ \end{array} $$

Bei genauerer Betrachtung stellen wir fest: In der zweiten Gleichung steht links vom Gleichheitszeichen nur $x$, im Term rechts vom Gleichheitszeichen kommt dagegen kein $x$ vor.

Nun können wir argumentieren: Wenn $x$ das Gleiche ist wie $y+2$, dann können wir in der anderen Gleichung $x$ durch $y+2$ ersetzen. Dadurch machen wir die Gleichung I zu einer Gleichung mit nur einer Variablen, die wir lösen können.

$$ \begin{array}{rlcrl} I&3x+y&=&18&~\\ II&x&=&y+2&| Einsetzen~in~I\\ I&3(y+2)+y&=&18&~\\ ~&3y+6+y&=&18&~\\ ~&4y+6&=&18&|-6\\ ~&4y&=&12&|:4\\ ~&y&=&3&~\\ \end{array} $$

Die Variable $y$ hätten wir berechnet. Die Variable $x$ berechnen wir, indem wir für $y$ eine $3$ einsetzen. Dabei ist es diesmal egal, welche der beiden Gleichungen wir verwenden. Die geringste Rechenarbeit haben wir, wenn wir in Gleichung II einsetzen.

$$ \begin{array}{rlcrl} II&x&=&y+2&|y=3\\ ~&x&=&3+2&~\\ ~&x&=&5&~\\ \end{array} $$

$x=5$ und $y=3$ ist das Zahlenpaar, das unsere Gleichung löst. Wie die Probe bestätigt:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&3x+y&=&18&|x=5~y=3\\ ~&3 \cdot 5+3&=^?&18&~\\ ~&18&=&18&~\\ \\ II&x&=&y+2&|x=5~y=3\\ ~&5&=^?&3+2&~\\ ~&5&=&5&~\\ \end{array} $$

Leider werden Sie in der Prüfung nicht genug Zeit für eine Probe haben und sollten sie deshalb nur machen, wenn Sie in der Aufgabe ausdrücklich dazu aufgefordert werden. Beim Üben sollten Sie auf die Probe nicht verzichten.

  Additionsverfahren

Wir möchten das folgende Gleichungssystem lösen:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&-8x-7y&=&-107&~\\ II&3x-5y&=&2&~\\ \end{array} $$

Wir multiplizieren Gleichung I mit $3$ und Gleichung II mit $8$.

$$ \begin{array}{rlcrl} I&-8x-7y&=&-107&|\cdot 3\\ II&3x-5y&=&2&|\cdot 8\\ I&-24x-21y&=&-321&~\\ II&24x-40y&=&16&~\\ \end{array} $$

Wozu das gut war zeigt sich jetzt, denn nun addieren wir die beiden Gleichungen, dabei verschwindet $x$ und wir erhalten eine Gleichung, die nur noch $y$ enthält. Diese Gleichung lösen wir.

$$ \begin{array}{rlcrl} I&-24x-21y&=&-321&~\\ II&24x-40y&=&16&~\\ I+II&-61y&=&-305&|:(-61)\\ ~&y&=&5&~\\ \end{array} $$

Die Variable $y$ hätten wir berechnet. Die Variable $x$ berechnen wir, indem wir für $y$ eine $5$ einsetzen. Dabei ist es diesmal egal, welche der beiden Gleichungen wir verwenden. Wir entscheiden uns willkürlich für Gleichung II.

$$ \begin{array}{rlcrl} II&3x-5y&=&2&|y=5\\ ~&3x-5 \cdot 5&=&2&~\\ ~&3x-25&=&2&|+25\\ ~&3x&=&27&|:3\\ ~&x&=&9&~\\ \end{array} $$

Das Entscheidende war, dass wir beide Gleichungen so multipliziert haben, dass beim anschließenden Addieren eine der beiden Variablen (in diesem Fall $x$) verschwindet.

Wir hätten auch $y$ verschwinden lassen können:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&-8x-7y&=&-107&|\cdot (-5)\\ II&3x-5y&=&2&|\cdot 7\\ I&40x+35y&=&535&~\\ II&21x-35y&=&14&|\cdot 7\\ I+II&61x&=&549&|:61\\ ~&x&=&9&|Einsetzen~in~II\\ II&3 \cdot 9-5y&=&2&~\\ ~&27-5y&=&2&|-27\\ ~&-5y&=&-25&|:(-5)\\ ~&y&=&5&~\\ \end{array} $$

Das Ergebnis ist das Gleiche. Probe:

$$ \begin{array}{rlcrl} I&-8x-7y&=&-107&|x=9~y=5\\ ~&-8 \cdot 9-7 \cdot 5&=^?&-107&~\\ ~&-72-35&=^?&-107&~\\ ~&-107&=&-107&~\\ \\ II&3x-5y&=&2&|x=9~y=5\\ ~&3 \cdot 9-5 \cdot 5&=^?&2&~\\ ~&27-25&=^?&2&~\\ ~&2&=&2&~\\ \end{array} $$

  Welches Verfahren sollen wir anwenden?

Wenn wir das Gleichungssystem entsprechend umformen, können wir im Prinzip frei wählen.

Das Einsetzungsverfahren bietet sich an, wenn mindestens in einer der Gleichungen auf einer Seite nur $x$ oder nur $y$ steht.

Das Additionsverfahren bietet sich an, wenn wir beide Gleichungen untereinander schreiben und dann die $x$, die $y$ und die absoluten Zahlen untereinander stehen.

  Nicht lösbare Gleichungssysteme

Wie schon in vorigen Abschnitten erwähnt wurde, müssen Gleichungssysteme nicht unbedingt eindeutig lösbar sein.

Dabei sollten wir unlösbare Gleichungssysteme von solchen unterscheiden, die unendlich viele Lösungen haben.

Unlösbares Beispiel

$$ \begin{array}{} I&2x&+y&=&5&~\\ II&2x&+y&=&3&~\\ \end{array} $$

Wir versuchen das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen:

$$ \begin{array}{} I&2x&+y&=&5&~\\ II&2x&+y&=&3&|\cdot (-1)\\ I&2x&+y&=&5&~\\ II&-2x&-y&=&-3&~\\ I+II&~&0&=&2&~\\ \end{array} $$

Obwohl wir alles richtig gemacht haben, erhalten wir nach der Addition ein unsinniges Ergebnis. Null kann unmöglich gleich zwei sein!

Die beiden Gleichungen widersprechen einander und haben keine gemeinsame Lösung.

Wie zeigt sich das, wenn wir das Einsetzungsverfahren anwenden?

$$ \begin{array}{} I&2x&+y&=&5&~\\ II&2x&+y&=&3&|-2x\\ I&2x&+y&=&5&~\\ II&~&y&=&-2x-3&|Einsetzen~in~I\\ I&2x&-2x&=&5&~\\ ~&~&0&=&5&~\\ \end{array} $$

Auch hier erhalten wir am Ende eine falsche Aussage.

Beispiel mit unendlich vielen Lösungen

Lösungsversuch mit dem Additionsverfahren

$$ \begin{array}{} I&2x&+y&=&5&|\cdot (-2)\\ II&4x&+2y&=&10&~\\ I&-4x&-2y&=&-10&~\\ II&4x&+2y&=&10&~\\ I+II&~&0&=&0&~\\ \end{array} $$

Lösungsversuch mit dem Einsetzungssverfahren

$$ \begin{array}{} I&2x&+y&=&5&|-2x\\ II&4x&+2y&=&10&~\\ I&~&y&=&-2x+5&|Einsetzen~in~II\\ II&4x&+2(-2x+5)&=&10&~\\ ~&4x&-4x+10&=&10&~\\ ~&~&10&=&10&~\\ \end{array} $$

Beide Lösungsversuche führen zu Gleichungen, die nicht falsch sind. Die Aussagen:

$$ \begin{array}{} ~&~&0&=&0&~\\ ~&~&10&=&10&~\\ \end{array} $$

sind zwar richtig, führen aber zu keiner eindeutigen Lösung.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Wir erinnern uns:

Bei einer Gleichung mit zwei Variablen können wir für eine Variable eine beliebige Zahl einsetzen und die passende Zahl für die andere Variable ausrechnen. Auf diese Weise können wir unendlich viele Zahlenpaare bilden, die die Gleichung lösen.

Fasse ich zwei derartige Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammen, haben also beide unendlich viele Lösungen.

Bei eindeutig lösbaren Gleichungsystemen stimmen die Gleichungen in einer Lösung überein.

Bei unlösbaren Gleichungsystemen stimmen die Gleichungen in keiner Lösung überein.

Einige Gleichungsysteme stimmen in allen Lösungen überein.

  Aufgaben

PDF-Übung: Einsetzungsverfahren

PDF-Übung: Additionsverfahren