Terme zusammenfassen

Zahlen und Variablen

Betrachten wir die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks:

$$ U=2 \cdot a+2 \cdot b $$

Die Buchstaben $U$ (für Umfang), $a$ (für Länge) und $b$ (für Breite) sind sogenannte Variablen. In $a$ und $b$ setzen wir die gemessenen Werte ein und $U$ steht für das Ergebnis.

Mit der $2$ kommt auch eine Zahl vor und die Operatoren $=$, $\cdot$ und $+$ sagen uns welche Rechenart wir ausführen sollen.

Terme

Als Terme bezeichnen wir in der Mathematik Rechenausdrücke, in denen Zahlen, Variablen und Operatoren in sinnvoller Weise vorkommen. Die Umfangsformel für Rechtecke ist ein Term. Aber auch Teile der Formel können als Terme aufgefasst werden. Sie müssen nur sinnvoll sein, also (nach dem Einsetzen von Zahlen für die Variablen) ausgerechnet werden können. Beispiele:

$2 \cdot a + 2 \cdot b$ oder $2 \cdot a$ sind Terme.

Kein Term dagegen wäre $+~2~\cdot$, weil nicht klar ist, womit die $2$ denn addiert oder multipliziert werden soll.

In Termen sind verschiedene Kurzschreibweisen üblich, die Sie im folgenden kennenlernen werden.

Malpunkt

Werden eine Zahl und ein Buchstabe multipliziert, dürfen wir den Malpunkt weglassen.

Statt	$~~~~2 \cdot a~~~~$	schreiben wir	$~~~~2a~~~~$
und statt	$~~~~~3 \cdot b~~~~~$	schreiben wir	$~~~~~3b~~~~~$.

Auch zwischen zwei Buchstaben dürfen wir den Malpunkt weglassen.

Das Produkt

$~~~~5 \cdot a \cdot b ~~~~$

schreiben wir

$~~~~ 5ab~~~~$.

Wir dürfen den Malpunkt aber nur dann weglassen, wenn keine Missverständnisse daraus entstehen.

Das Produkt	$~~~~3 \cdot 5 ~~~~$	ist gleich	$~~~~ 15~~~~$.
Ohne Malpunkt würden wir	$~~~~3 ~ 5 ~~~~$	schreiben,

was wir auch als fünfunddreissig lesen können.

Die Eins

Da die Eins beim Multiplizieren neutral ist, also nichts bewirkt, dürfen wir sie in Produkten weglassen.

Vorsicht! Da die Eins beim Addieren und Subtrahieren nicht neutral ist, dürfen wir sie in Summen und Differenzen nicht weglassen. Beispiele:

Statt	$~~~~1x+5~~~~$	schreiben wir einfach	$~~~~x+5~~~~$.
Statt	$~~~~5x+1~~~~$	schreiben wir unverändert	$~~~~5x+1~~~~$.
Statt	$~~~~U = 2 \cdot a + 2 \cdot b~~~~$	schreiben wir kurz	$~~~~U = 2 a + 2 b~~~~$.

Die Null

Da die Null beim Addieren und Subtrahieren neutral ist, also nichts bewirkt, dürfen wir sie in Summen und Differenzen weglassen.

Vorsicht! Die Null ist beim Multiplizieren nicht neutral. Jede Multiplikation mit null hat das Ergebnis null! Dividieren durch null ist überhaupt nicht möglich! Beispiel:

Statt	$~~~~0x+5~~~~$	schreiben wir einfach	$~~~~0+5~~~~$
und statt	$~~~~0+5~~~~$	schreiben wir	$~~~~5~~~~$.

Kurz: $0x+5=5$

Produkte

Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz: $a \cdot b = b \cdot a$. Das können wir uns zu Nutze machen und Terme übersichtlicher schreiben. Empfehlung:

Zahlen als Faktoren nach links, Buchstaben als Faktoren alphabetisch geordnet.

Beispiel:

Statt

$$ b \cdot 2 \cdot a $$

Schreiben wir übersichtlicher:

$$ 2ab $$

Summen und Differenzen

Bei der Addition gilt ebenfalls das Kommutativgesetz: $a+b=b+a$

Bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz zwar nicht, aber wenn wir das Minuszeichen als Vorzeichen betrachten, das fest zu seiner Zahl (oder zu seinem Buchstaben) gehört, können wir das Kommutativgesetz trotzdem anwenden:

$$ \begin{array}{} x-y&=&-y+x\\ 5-3&=&-3+5\\ \end{array} $$

Empfehlung:

Reine Zahlen als Summanden nach rechts, Buchstaben (falls möglich) alphabetisch geordnet, höhere Potenzen nach links.

Beispiele:

Statt

$$ 24-3y+2x $$

Schreiben wir besser:

$$ 2x-3y+24 $$

Statt

$$ 5x-15+3x^2 $$

Schreiben wir besser:

$$ 3x^2+5x-15 $$

Umformungen

Erstaunlicherweise können wir mit Termen auch dann rechnen, wenn wir für die Variablen noch keine Zahlen eingesetzt haben. Da wir dabei natürlich keine Zahlen als Endergebnis herausbekommen, sprechen wir in diesen Fällen von Umformungen. Wenn die Umformung von Termen dazu führt, dass der Term kürzer geschrieben wird, bezeichnen wir die Umformung als Zusammenfassung.

Addition und Subtraktion

Mögliche Zusammenfassungen sind:

$$ \begin{array}{rcl} a+a&=&2a\\ b+b+b&=&3b\\ 2c + 5c&=&7c\\ 5d - 3d&=&2d\\ \end{array} $$

Zur Veranschaulichung fassen wir die Variablen als Schachteln mit Schrauben auf. Wir wissen nicht wieviele Schrauben sich in den Schachteln befinden. Aber wir wissen, dass Schachteln, die mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet sind, auch die gleiche Menge an Schrauben enthalten.

Daraus folgt:

Eine Schachtel des Typs a plus noch eine Schachtel des Typs a sind zwei Schachteln des Typs a.

Oder: Eine Schachtel b plus eine Schachtel b plus eine Schachtel b sind drei Schachteln b.

Oder: Zwei Schachteln c plus fünf Schachteln c sind sieben Schachteln c.

Oder: Von fünf Schachteln d nehmen wir drei Schachteln d weg. Übrig bleiben zwei Schachteln d.

Nicht zusammenfassbar sind dagegen:

$$ \begin{array}{rcl} a+b&=&a+b\\ a+b-c&=&a+b-c\\ \end{array} $$

Da wir nicht wissen wieviele Schrauben sich in den Schachteln befinden, können wir Schachteln unterschiedlichen Typs weder addieren noch subtrahieren.

Ebenfalls nicht zusammenfassbar:

$$ \begin{array}{rcl} x^2+x&=&x^2+x\\ x^3+x^2-x&=&x^3+x^2-x\\ \end{array} $$

Liegt die gleiche Variable mehrfach vor, aber mit unterschiedlichen Exponenten, kann sie nicht addiert oder subtrahiert werden, weil das gegen die Punkt vor Strichregel verstossen würde. Ist der Exponent gleich, sind Addition und Subtraktion dagegen problemlos möglich:

$$ \begin{array}{rcl} x^2-2x+5+x^2+7x-3&=&2x^2+5x+2 \end{array} $$

Multiplikation und Division

Die Division von Termen werden wir erst nach der Bruchrechnung behandeln.

Mögliche Zusammenfassungen bei der Multiplikation sind:

$$ \begin{array}{rcl} a \cdot a&=&a^2\\ b\cdot b \cdot b&=&b^3\\ \end{array} $$

Hier können wir das, was wir zu Addition und Subtraktion gesagt haben, entsprechend anwenden.

Nicht zusammenfassbar:

$$ \begin{array}{} a \cdot b&=&a \cdot b\\ \end{array} $$

Addition, Subtraktion und Multiplikation gemischt

Liegen Addition, Subtraktion und Multiplikation gemischt in einem Term vor, müssen wir die Punkt vor Strich Regel beachten. Beispiel:

$$ 5x + 3y - 2x + y = 3x + 4y $$

Von den $5x$ konnten wir $2x$ abziehen und zu den $3y$ ein weiteres $y$ addieren. Aber $3x$ und $4y$ können wir nicht addieren, weil wir nach der Punkt vor Strichregel zunächst die Multiplikationen $3 \cdot x$ und $4 \cdot y$ ausführen müssten. Aber das können wir nicht, weil wir nicht wissen wieviel $x$ und $y$ eigentlich sind.

PDF Übung: „Terme zusammenfassen“