Winkel

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Inhalt

Was ist ein Winkel?
Was sind Grad?
Winkelmessung
Winkelmessung mit Hilfslinien
Scheitelwinkel und Nebenwinkel

 Was ist ein Winkel?

Stellen Sie sich zwei gerade Stäbe vor, die durch ein Scharnier miteinander verbunden sind. Legen wir diese beide Stäbe auf den Tisch und spreitzen den linken Stab immer weiter auf. Dann sieht das in etwa so aus:

Je nach dem, wie weit wir die beiden Stäbe spreizen, sprechen wir von einem größeren oder kleineren Winkel zwischen den Stäben.

 Was sind Grad?

Das Gradmaß (Einheit °) geht davon aus, dass eine volle Umdrehung 360° (sprich: „360 Grad“) sind.

Es gibt auch andere Maßeinheiten, aber die verwenden wir in der Realschulmathematik nicht.

Die folgenden vier Winkel sollten Sie auswendig lernen und jederzeit auch ohne Winkelmesser erkennen:

 Winkelmessung

Zur Winkelmessung verwenden wir ein Geodreieck.

Wir legen das Lineal (mit der Zentimeterskala) an eine der beiden Geraden an, sodass die Null genau im Knick des Winkels liegt.

Beispiel 1:

Auf dem Bogen des Winkelmessers werden uns 30° und 150° angeboten. Per Augenmaß entscheiden wir, dass der Winkel kleiner sein muss als 90°. 30° ist also der richtige Wert.

Beispiel 2:

Auf dem Bogen des Winkelmessers werden uns wieder 30° und 150° angeboten. Per Augenmaß entscheiden wir, dass der Winkel größer sein muss als 90°. Hier ist also 150° der richtige Wert.

Dabei ist es unerheblich an welche der beiden Geraden wir das Lineal anlegen. Auch, wenn wir das Lineal an die rote Gerade anlegen, messen wir in Beispiel 2 150°:

 Winkelmessung mit Hilfslinien

Manchmal sind die Geraden zu kurz und wir können dadurch auf dem Geodreieck die Winkel nicht richtig ablesen.

In diesem Fall verlängern wir die Geraden mit Hilfslinien

Beispiel:

Die Winkel dieses Dreiecks sollen gemessen werden.

Das Geodreieck ist zu klein. Aber mit Hilfslinien (hier rot) messen wir, den Winkel links unten:

Dabei kommen wir auf 30°. Nun messen wir, den Winkel rechts unten:

Diesmal kommen wir auf 40°. Zum Abschluss messen wir noch, den oberen Winkel:

 Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Zwei Geraden, die sich schneiden, bilden genaugenommen vier Winkel:

Winkel werden gerne mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Hier: $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ (sprich: „alpha eins, alpha zwei, beta eins, beta zwei“).

Beim Nachmessen der oberen Winkel stellen wir fest, dass:

$$ \begin{array}{rcr} \alpha_2&=&20°\\ \beta_1&=&160°\\ \end{array} $$

Das Messen der unteren Winkel ergibt:

$$ \begin{array}{rcr} \alpha_1&=&20°\\ \beta_2&=&160°\\ \end{array} $$

Wir unterscheiden zwei Arten von Winkelpaaren:

Scheitelwinkel:

$\alpha_1$ und $\alpha_2$ oder $\beta_1$ und $\beta_2$

Nebenwinkelwinkel:

$\alpha_1$ und $\beta_2$ oder $\alpha_2$ und $\beta_1$

$\alpha_1$ und $\beta_1$ oder $\alpha_2$ und $\beta_2$

Regel 1

Scheitelwinkel sind gleich groß.

$$ \begin{array}{rcr} \alpha_1&=&\alpha_2\\ \beta_1&=&\beta_2\\ \end{array} $$

Regel 2

Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.

$$ \begin{array}{rcr} \alpha_1&+&\beta_1&=&180°\\ \alpha_2&+&\beta_2&=&180°\\ \alpha_1&+&\beta_2&=&180°\\ \alpha_2&+&\beta_1&=&180°\\ \end{array} $$